Question

已知f（x）=sinxcosx-3cos2x+32+1．（1）求f（x）的最小正周期及其图象对称中心的坐标和对称轴的方程；（

已知f（x）=sinxcosx-3cos2x+32+1．（1）求f（x）的最小正周期及其图象对称中心的坐标和对称轴的方程；（2）当x∈[0，π2]时，求f（x）的值域．

Answer 1

（1）∵f（x）=sinxcosx-

3

cos²x+

3

2

+1=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x+1=sin（2x-

π

3

）+1
函数f（x）的最小正周期：T=

2π

2

=π
令2x-

π

3

=kπ 解得x=

kπ

2

+

π

6

 （k∈Z）
∴函数f（x）图象的对称中心为（

kπ

2

+

π

6

，1）（k∈Z）
令2x-

π

3

=kπ+

π

2

  解得x=

kπ

2

+

5π

12

  （k∈Z）
∴函数f（x）的对称轴的方程为：x=

kπ

2

+

5π

12

 （k∈Z）
（2）由（1）知函数的解析式为：
f（x）=sin（2x-

π

3

）+1
∵x∈[0，

π

2

]
∴?

π

3

≤2x?

π

3

≤

2π

3

∴?

3

2

≤sin(2x?

π

3

)≤1
∴函数f（x）的值域为[1-

3

2

，2]
故（1）答案为：
函数f（x）的最小正周期为π
函数f（x）图象的对称中心为（

kπ

2

+

π

6

，1）（k∈Z）
函数f（x）的对称轴的方程为：x=

kπ

2

+

5π

12

 （k∈Z）
（2）函数f（x）的值域为[1-

3

2

，2]