Question

如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，E是棱BB1的中点．（1）求证：平面A1EC⊥平面AA1C1C；（2）若我们

如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，E是棱BB1的中点．（1）求证：平面A1EC⊥平面AA1C1C；（2）若我们把平面A1EC与平面A1B1C1所成的锐二面角为60°时的正三棱柱称为“黄金棱柱”，请判断此三棱柱是否为“黄金棱柱”，并说明理由．

Answer 1

解答：（1）证明：连接A₁C与AC₁交于点F，连接EF，
则由条件可得EC=EA₁，则EF⊥A₁C．同理EC₁=EA，则EF⊥AC₁，∴EF⊥面AA₁C₁C．
而EF?面A₁EC，所以平面A₁EC⊥平面AA₁C₁C．
（2）解：延长CE交C₁B₁的延长线于点H，
则有C₁B₁=B₁H=A₁B₁，则∠HA₁C₁=90°，且∠CA₁H=90°，
所以∠CA₁C₁为平面A₁EC与平面A₁B₁C₁所成二面角的平面角．
若此正三棱柱为“黄金棱柱”，则∠CA₁C₁=60°，应有CC₁=

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A₁C₁，与条件AB=AA₁矛盾．
所以此三棱柱不能成为“黄金棱柱”．