Question

点M、N分别在正三角形ABC的BC，CA的边上，且BM＝CN，AM、BN交于点Q．求证：∠BQM＝60°

点M、N分别在正三角形ABC的BC，CA的边上，且BM＝CN，AM、BN交于点Q．求证：∠BQM＝60°

Answer 1

首先，ABC为正三角形，BM=CN
可以得出三角形ABM全等于三角形BCN（AB=BC,角ABM=角BCN，BM=CN）
那么角BAM=角CBN
角AMB=角QMB=180°-角BAM-角ABM=120°-角BAM=120°-角CBN
角QMB=120°-角CBN
而角BQM=180°-角QBM-角QMB=180°-（120°-角CBN+角QBM）=60°

（对于角AMC＝角BAM+角ABC＝角CBN＋角BQM
角AMC看做三角形AMB的外角，角AMC＝角BAM+角ABC
角AMC看做三角形QBM的外角，角AMC＝角QMC=角CBN＋角BQM）

Answer 2

因为 AB=AC=BC BM=CN
又因为 BM=BC+CM CN=NA+AC
所以CM=NA
因为ABC是等边三角形
所以角BAC=角ABC=角ACB=60°
所以角ACM=角BAN（邻补角）
所以三角形CAM全等于三角形BNA
所以角BNA=角M
因为角CAM=角QAN（对顶角）
又因为角CAM+角M=60°
所以角BQM=60°（外角和）