Question

设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，、F是BC边上一点，线段DE和AF相交于点P，点Q在线段DE上，且AQ//PC.

3．设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，、F是BC边上一点，线段DE和AF相交于点P，点Q在线段DE上，且AQ//PC.
（1） 证明：PC=2AQ；
（2） 当点F为BC的中点时，试比较 和梯形APCQ面积的大小关系，并对你的结论加以证明。

Answer 1

(1) AQ//PC => 角AQE=角CPD
AB//CD => 角QEA=角PDC
三角形QAE和三角形PCD相似
CD=2AE => PC=2AQ

(2) 过E作EG平行于BF交AF于G
EG//BF//AD
三角形ABF中位线BF=2EG => AD=2BF=4EG
三角形APD和三角形GPE相似
AP=4GP => AP=4/5AG=2/5AF
三角形APC面积 = 三角形AFC面积2/5 = 三角形ABC面积1/5 = 平行四边形面积1/10
此外，三角形APC面积 = PC乘以高/2
梯形APCQ面积 = (PC+AQ)乘以高/2 = 1.5PC乘以高/2
=> 梯形APCQ面积 = 1.5倍三角形APC面积 = 3/20平行四边形面积