Question

如图点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，f是BC边上一动点，线段DE和AF相交于点P，连接PC过点A做AQ\\PC

(1)证明：PC=2AQ
(2)当点f为BC的中点时，猜想PF=2AP是否成立？若成立说明理由，若不成立试求AP/PF的值
各位帅锅，给位妹妹，这道题我会做了，谢谢啊

Answer 1

（1）此题有两种证法：〖法一〗如图1，连接AC交DE于点K，根据AE∥DC．求证△AKE∽△CKD，再利用AQ∥PC，求证△AKQ∽△CKP．再利用其对应边成比例即可证明结论．
（1）〖法二〗如图2，延长DE，CB相交于点R，作BM∥PC，根据AQ∥PC，BM∥PC，和E是AB的中点，D、E、R三点共线，求证△AEQ≌△BEM．同理△AED≌△REB．再求证△RBM∽△RCP，利用其对应边成比例即可证明结论．
（2）如图3，当点F为BC的中点时，PF=2AP不成立．作BN∥AF，交RD于点N．根据△RBN∽RFP．利用F是BC的中点，RB=BC，可得==，又利用AE=BE，∠NEB=∠PEA，∠NBE=∠PAE．求证△BNE≌△APE即可．

Answer 2

∠AKE=∠CKD，
∴△AKE∽△CKD，
∴AE DC =AK KC =1 2 ．
∵AQ∥PC，
∴∠KAQ=∠PCK，
又∠AKQ=∠CKP，
∴△AKQ∽△CKP．
∴AQ PC =AK CK ，
∵AK KC =1 2 ，
∴AQ PC =1 2 ，
即PC=2AQ．
（1）〖法二〗如图2，延长DE，CB相交于点R，作BM∥PC．
∵AQ∥PC，BM∥PC，
∴MB∥AQ．
∴∠AQE=∠EMB．
∵E是AB的中点，D、E、R三点共线，
∴AE=EB，∠AEQ=∠BEM．
∴△AEQ≌△BEM．
∴AQ=BM．
同理△AED≌△REB．
∴AD=BR=BC．
∵BM∥PC，
∴△RBM∽△RCP，
相似比是1 2 ．
PC=2MB=2AQ．

（2）如图3，当点F为BC的中点时，PF=2AP不成立．
作BN∥AF，交RD于点N．
则△RBN∽RFP．
∵F是BC的中点，
由（1）[法二]知：RB=BC，
∴RB=2 3 RF．
∴BN PF =RB RF =2 3
又AE=BE，∠NEB=∠PEA，∠NBE=∠PAE．
∴△BNE≌△APE，
∴AP=BN．
∴AP=BN=2 3 PF．
即AP PF =2 3