已知椭圆C:x2+2y2=4. (1)求椭圆C的离心率; (2)设O为原点,若点A
已知椭圆C:x2+2y2=4.(1)求椭圆C的离心率;(2)设O为原点,若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OA⊥OB,求线段AB长度的最小值. ...
已知椭圆C:x2+2y2=4.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)设O为原点,若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OA⊥OB,求线段AB长度的最小值.
展开
(1)求椭圆C的离心率;
(2)设O为原点,若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OA⊥OB,求线段AB长度的最小值.
展开
展开全部
(1)由题意,椭圆C的标准方程为+=1。
所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2。
因此a=2,c=.故椭圆C的离心率e==。
(2)设点A,B的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中x0≠0。
因为OA⊥OB,所以·=0,即tx0+2y0=0,
解得t=-。
又x+2y=4,所以
|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2
=2+(y0-2)2
=x+y++4
=x+++4
=++4(0<x≤4)。
因为+≥4(0<x≤4),
且当x=4时等号成立,
所以|AB|2≥8。
故线段AB长度的最小值为2。
所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2。
因此a=2,c=.故椭圆C的离心率e==。
(2)设点A,B的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中x0≠0。
因为OA⊥OB,所以·=0,即tx0+2y0=0,
解得t=-。
又x+2y=4,所以
|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2
=2+(y0-2)2
=x+y++4
=x+++4
=++4(0<x≤4)。
因为+≥4(0<x≤4),
且当x=4时等号成立,
所以|AB|2≥8。
故线段AB长度的最小值为2。
推荐律师服务:
若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询