Question

已知函数fx=（x-1）e^x+ax^2,a∈R 1，讨论fx单调区间。 2，fx有2个零点，求a的取值范围

Answer 1

fx=(x-1)e^x+ax²
f'(x)=e^x+(x-1)e^x+2ax=xe^x+2ax=x(e^x+2a)
f''(x)=e^x+xe^x+2a
a≥0时
只有一个驻点x=0
f''(0)>0 x=0是极小值点
∴单调递减区间x∈(-∞,0)
单调递增区间x∈(0,+∞)
a<0时，还有一个驻点ln(-2a)
当a=-½时，f''(0)=0 x=0 不是极值点，函数为增函数 单调递增区间x∈R
a<-½时，x=0是极大值点，x=ln(-2a)是极小值点
∴单调递减区间x∈(0,ln(-2a))
单调递增区间x∈(-∞,0)∪(ln-2a,+∞)
-½<a<0时 x=0是极小值点，x=ln(-2a)是极大值点
∴单调递减区间x∈(ln(-2a),0)
单调递增区间x∈(-∞,ln(-2a))∪(0,+∞)
(2)极值 f(0)=-1 f(ln-2a)<0

∴只有a>0时fx有2个零点