Question

为什么极限存在函数不一定有界，如何这句话成立，书上定理是不是错了

为什么极限存在函数不一定有界，如何这句话成立，书上定理是不是错了如题，图片上的前两条定理不就是说如果极限存在，函数就有界吗

Answer 1

你应该理解错了。
定理1
举例
f(x)=x
lim x→0 f(x)=0
根据定理1，存在δ＞0，使得-δ＜x＜0时，f(x)有界，这个成立，但是对于整个定义域上来说，f(x)=x可以为∞，但∞不是数字，它是无界的。
定理2
举例f(x)=1/x
lim x→∞ f(x)=0
根据定理2，存在X＞0，|x|＞X时，f(x)有界，即x＞X或者x＜-X，可见x≠0。同样这个成立。但是x=0时，f(x)为±∞，直接图像上就能看出来，所以这个函数也是无界的。

追问

哦哦，也就是说是定义域的问题，对吗

追答

有界无界主要看定义域，还有值域(比如sinx这种)，跟极限不是完全一回事

追问

其实就是极限存在是有界的必要条件，但还需要其他条件组合在一起才能说明有界，是这个样子吗

追答

我觉得不是一个概念。
前面说了极限存在，不一定有界。
函数有界，极限也不一定存在。
sinx，x→∞时，sinx是震荡函数，极限不存在

Answer 2

函数既有上界又有下界是函授有界的充要条件，即：
函授有上界+下界 -> 函数有界；
函授有界 -> 函数有上界+下界；
PS.函数有上界或者是函数有下界是函数有界的必要条件，但不充分。