设S是上半球面z=√a^2-x^2-y^2的上侧（a>0),计算曲面积分，
首先积分曲面关于xoz，yoz平面都是对称的，而被积函数（x＋y）分别是关于x，y的奇函数，所以∫∫（x＋y）＝0，原积分＝∫∫zds，而（z＇x）＾2＋（z＇y）＾2＋1＝x＾2／z＾2＋y＾2／z＾2＋1＝a＾2／z＾2，所以积分＝∫∫azdxdy／z＝a∫∫dxdy＝πa＾3
求曲面z＝xy／a被柱面x＋y＝a所割下部分的面积A．z／x＝y／a；z／y＝x／a，积分域Dxy：圆心在原点，半径r＝a的园．A＝［Dxy］∫∫√［1＋（z／x）＋（z／y）］dxdx＝［Dxy］∫∫√［1＋（x＋y）／a］dxdy＝［Dxy］（1／a）∫∫√（a＋x＋y）dxdy为便于计算，换
既然是上半球面,那么Z>=0.教材上的式子由于有根号的限制,可以满足条件.但是你写的那个方程,是整个球面方程,包括了Z<0的部分
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对坐标的曲线积分的计算方法：
(1)直接计算方法，参数方程表达式直接代入，转换为定积分计算的方法。注意定积分下限为起点对应的参数，上限为终点对应的参数。
（2）两类曲线积分之间的关系，注意方向余弦构成的切向量的方向应与曲线方向一直。
（3）格林公式，当积分曲线为空间曲线时，则使用格林公式。（注意三个条件：封闭性，方向性与偏导的连续性）。
（4）积分与路径无关（格林公式）。
把上半球面z＝√（1－x＾2－y＾2）投影到xoy平面上，得圆x＾2＋y＾2＝1，利用极坐标，
原积分＝∫（sinθ）＾3dθ∫r＾4dr（r积分限0到1，θ积分限0到2π），∫r＾4dr＝1／5，∫（sinθ）＾3dθ
＝－∫（sinθ）＾2dcosθ＝∫［（cosθ）＾2－1］dcosθ＝（cosθ）＾3／3－cosθ＝0，
所以积分＝0其实本题可利用对称性，由于积分曲面关于x轴对称，而被积函数是关于y奇函数，所以积分＝0
被积曲面方程z＝（a＾2－x＾2－y＾2）＾（1／2），则z＇x＝－2x／2（a＾2－x＾2－y＾2）＾（1／2）
＝－x／z，同理z＇y＝－y／z，所以［1＋（z＇x）＾2＋（z＇y）＾2］＾（1／2）＝（1＋x＾2／z＾2＋y＾2／z＾2）＾（1／2）＝a／z，
所以积分＝∫∫z［1＋（z＇x）＾2＋（z＇y）＾2］＾（1／2）dz＝a∫∫dxdy，而∫∫dxdy等于被积曲面在xoy平面上投影的面积，将两方程联立，得x＾2＋y＾2＝a＾2／2
即投影圆半径的平方＝a＾2／2，面积＝πa＾2／2，所以原积分＝πa＾3／2
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计算∫根号（2y＾2＋z＾2）ds，其中L为球面X＾2＋Y＾2＋Z＾2＝3与平面X＝Y相交的圆周
X＾2＋Y＾2＋Z＾2＝3与x＝y相交的圆周为一个球大圆，
且方程满足：2y＾2＋z＾2＝3，（只需将x＝y代入球方程即可）
第一类曲线积分可以用曲线方程化简被积函数
因此原式＝∫√3ds
＝√3∫1ds
被积函数为1，积分结果是曲线弧长，即球大圆的周长
＝√3＊2π＊√3
＝6π
