Question

复变函数，证明函数f（z）=e^z在全平面解析？求教

如题

Answer 1

e^z=e^(x+iy)=e^x(cosy+isiny)，
设实部u=e^x cosy,
虚部v=e^x siny
∂u/∂x=e^x cosy，
∂u/∂y=-e^x siny
∂v/∂x=e^x siny,
∂v/∂y=e^x cosy
四个偏导数均是初等二元函数的组合，
所以都连续
且柯西黎曼方程
∂u/∂x=∂v/∂y=e^x cosy
∂v/∂x=-∂u/∂y=e^x siny
对任意x，
y成立，
所以e^z在整个复平面上解析