Question

证明函数f(z)=e^(z^2)在全平面上解析,并求其导数。

Answer 1

u=h(z)=z²在全平面上解析。g(u)=e^u在全平面上解析.，则复合函数f(z)=g(u)=g[h(z)]=e^(z²)在全平面上解析。
f'(z)=g'(u)·h'(z)=e^u·(2z)=2ze^(z²).
故f'(z)=2ze^(z²).

Answer 2

求导：f'(x)=e^(x^2)*2x=2x*e^(x^2)
f(x)=f(-x),故该函数为偶函数，且无周期性
单调性：x>0,f'(x)>0;x<0,f'(x)<0,故f(x)在（0，+∞）上递增，在（-∞，0）上递减
且在x=0时，有极小值1，即最小值
又f''(x)=2e^(x^2)+4x^2*e^(x^2)>0恒成立，故该函数在全平面上没有拐点，且为下凸函数
最后求其渐近线：水平渐近线：x=0

追问

z指的是复数，是复变函数的积分