Question

若多项式x+x^10=a0+a1(x+1)+…a9(x+1)^9

Answer 1

右边的展开式中只有a10(x+1)^10含有x^10，对比可知
a10=1
又因为左边不含x^9项，所以右边所有含x^9项的系数之和为0，
所以由二项式定理可知，只有a9(x+1)^9，a10(x+1)^10两项中含有x^9项
所以a9+a10*10=0
a9=-10

Answer 2

令x=0,得到
0=a0+a1+a2+...+a10
令x=-2得到-2+2^10=a0-a1+a2-a3+a4+...+a8-a9+a10
两式相加-2+2^10=2(a0+a2+a4+a6+a8+a10)
a0+a2+a4+a6+a8+a10=-1+2^9
在原来等式中观察x^10的次数，左边为1，右边为a10，所以a10=1，
所以a0+a2+a4+a6+a8＝－2+2^9