Question

梯形ABCD，AB∥CD，且CD=3AB，EF∥CD，EF将梯形ABCD分成面积相等的两部分， 求AE∶ED的值

Answer 1

首先画一个梯形ABCD，然后在梯形内画一条线段EF，使之分别平行AB，CD，切交AD于点E，交BC于点F，使之平分梯形ABCD面积。于是得到两梯形ABEF和EFDC，作AN垂直于CD，交EF于点M。则知AM为梯形ABFE的高，而MN等于梯形EFCD的高。
解：由已知，得
∵CD=3AB
0.5·（AB+EF）·AM=0.5·0.5·（AB+CD）·AN
∴AM/AN=0.5·（AB+CD）/（AB+EF）=2AB/（AB+EF）
0.5·（EF+CD）·MN=0.5·0.5·（AB+CD）·AN
∴
MN/AN=
0.5（AB+CD）/（EF+CD）=2AB/（EF+3AB）
∴
AM/AN+MN/AN=2AB/（AB+EF）+2AB/（EF+3AB）=1
∴EF=√5
AB
∵三角形AEM相似于三角形ADN
∴AE：ED=AM：MN=（EF+CD）/（AB+EF）=（EF+3AB）/（EF+AB）
=（√5
AB+3AB）/（√5
AB+AB）
=（√5
+3）/（√5
+1）