Question

一道关于函数的的问题

已知函数f(x）=Xⁿ，n=-2m²+m+3 (m∈Z）为偶函数，且f(3)＜f(5)

（1）求m值，并求f(x)解析式
（2）若g(x)=loga〔f(x)-ax〕 （a＞0，a≠1）在区间〔2，3〕上递增，求a取值范围

Answer 1

1.
因f(3)＜f(5)
所以n≥1
n为偶函数
所以n≥2
n=-2m²+m+3≥2
2m²-m-1≤0
(2m+1)(m-1)≤0
-1/2≤m≤1
所以m=1
n=-2+1+3=2
f(x)=x²;

2. 若g(x)=loga〔f(x)-ax〕 （a＞0，a≠1）在区间〔2，3〕上递增，求a取值范围
g(x)=loga[f(x)-ax]
=loga[x²-ax]
g'(x)={1/[(x²-ax)lna]}(2x-a)=[(2x-a)/(x²-ax)](1/lna)＞0

当0＜a＜1时，1/lna＜0，
则要(2x-a)/(x²-ax)＜0，x(2x-a)(x-a)＜0
此时在区间[2，3]内2x-a＞0,x-a＞0,x＞0
所以0＜a＜1不可能；

当a＞1时，1/lna＞0，
则要(2x-a)/(x²-ax)＞0，x(2x-a)(x-a)＞0
此时在区间[2，3]内x＞0，
则要(2x-a)(x-a)＞0
则x＞a或x＜a/2
1＜a＜x或a＞2x≥6
1＜a＜2或a＞6
当a＞6时，在区间[2，3]内x²-ax=x(x-a)＜0,loga[x²-ax]无意义，所以舍去，

所以1＜a＜2。