Question

利用定义证明数列的极限

请问各位大神下图划横线部分是怎么推导出来的呢？

Answer 1

用极限定义证明数列极限的关键是:

1、对Πε>0,都能找到一个正整数N,当n>N时,有|an-a|<ε成立・这里的Πε>0,由证题者自己给出・因此,关键是找出N。

2、显然,要寻找的N,一定要满足当n>N时,有|an-a|<ε成立而|an-a|可以看成是关于正整数n的函数,我们可以通过求解不等式|an-a|<ε,找到使|an-a|<ε成立,n所要满足的条件,亦即不等式|an-a|<ε的解集该解集是自然数集N的无限子集对同一个ε,N并不惟一。

3、因此,只需在该解集找出一个作为N即可・这样寻找N的工作就转化成求解不等式|an-a|<ε的问题了。

数列极限：
定义：设|Xn|为一数列，如果存在常数a对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|Xn - a|<ε。
都成立，那么就成常数a是数列|Xn|的极限，或称数列|Xn|收敛于a。记为lim Xn = a 或Xn→a（n→∞）

数列极限的性质：

　　1.唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的。
2.改变数列的有限项，不改变数列的极限。
几个常用数列的极限：
an=c 常数列 极限为c
an=1/n 极限为0
an=x^n 绝对值x小于1 极限为0。

Answer 2

用极限定义证明：n→+∞lim(1+1/n2)=1 证明：不论预先给定的正数ξ怎么小，由∣1+(1/n2)-1∣=1/n21/ξ，于是可取 N=[√(1/ξ)]，当n>N时，恒有∣1+(1/n2)-1∣<ξ，故n→+∞lim(1+1/n2)=1；用极限定义证明：n→+∞lim[2n/(n+1)]=2 证明：不论预先给定的正数ξ怎么小，由∣2n/(n+1)-2∣=∣-2/(n+1)∣=2/(n+1)<2/n2/ξ；于是可取N=[2/ξ]，当n>N时恒有∣2n/(n+1)-2∣<ξ，故+∞lim[2n/(n+1)]=2；【注：[ ]指整数部分。】

追问

你好，那为什么小于n方分之七n？先谢谢了