Question

求证三次根号3是无理数

Answer 1

所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能。根据这一点，有人建议给无理数摘掉“无理”的帽子，把有理数改叫为“比数”，把无理数改叫为“非比数”。本来嘛，无理数并不是不讲道理，只是人们最初对它不太了解罢了。
利用这个主要区别，可以证明三次根号2是无理数。
证明：假设三次根号2不是无理数，而是有理数。
既然三次根号2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：
三次根号2=p/q
又由于p和q没有公因数可以约去，所以可以认为p/q
为既约分数,即最简分数形式。
把
三次根号2=p/q
两边三次方
得
2=(p^3)/(q^3)
即
2(q^3)=p^3
由于2q^3是偶数，p
必定为偶数，设p=2m
由
2(q^3)=8(m^3)
得
q^3=4m^3
同理q必然也为偶数，设q=2n
既然p和q都是偶数，他们必定有公因数2，这与前面假设p/q是既约分数矛盾。这个矛盾是有假设三次根号2是有理数引起的。因此三次根号2是无理数。

Answer 2

假设三次根号3是有理数
则其可表示为n/m(n、m互质)，
所以3m^3=n^3
所以n有约数3，设n=3k
则3m^3=27k^3,m=9k^3
所以m也有约数3
与m、n互质矛盾
所以假设不成立，三次根号3是无理数