Question

微分几何主要研究什么

Answer 1

微分几何是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科.古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面,而现代微分几何开始研究更一般的空间----流形.微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系,对物理学的发展也有重要影响.爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础.
微分几何学以光滑曲线(曲面)作为研究对象,所以整个微分几何学是由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等概念展开的.既然微分几何是研究一般曲线和一般曲面的有关性质,则平面曲线在一点的曲率和空间的曲线在一点的曲率等,就是微分几何中重要的讨论内容,而要计算曲线或曲面上每一点的曲率就要用到微分的方法.
在曲面上有两条重要概念,就是曲面上的距离和角.比如,在曲面上由一点到另一点的路径是无数的,但这两点间最短的路径只有一条,叫做从一点到另一点的测地线.在微分几何里,要讨论怎样判定曲面上一条曲线是这个曲面的一条测地线,还要讨论测地线的性质等.另外,讨论曲面在每一点的曲率也是微分几何的重要内容.
微分几何
在微分几何中,为了讨论任意曲线上每一点邻域的性质,常常用所谓“活动标形的方法”.对任意曲线的“小范围”性质的研究,还可以用拓扑变换把这条曲线“转化”成初等曲线进行研究.
在微分几何中,由于运用数学分析的理论,就可以在无限小的范围内略去高阶无穷小,一些复杂的依赖关系可以变成线性的,不均匀的过程也可以变成均匀的,这些都是微分几何特有的研究方法
近代由于对高维空间的微分几何和对曲线、曲面整体性质的研究,使微分几何和拓扑学、变分学、李群理论等有了密切的关系,这些数学领域和微分几何互相渗透,已成为现代数学的中心课题之一.[2]
微分几何在力学和一些工程技术问题方面有广泛的应用,比如,在弹性薄壳结构方面,在机械的齿轮啮合理论应用方面,都充分应用了微分几何学的理论.
微分几何学的研究对数学其他分支以及力学、物理学、工程学等的影响是不可估量的.如：伪球面上的几何与非欧几何有密切关系；测地线和力学、变分学、拓扑学等有着深刻的联系,是内容丰富的研究课题.这方面有以J.阿达马、H.庞加莱等人为首的优异研究.极小曲面是和复变函数论、变分学、拓扑学关系极为深刻的研究领域,K.魏尔斯特拉斯、J.道格拉斯等人作出过卓越贡献.
微分几何学的研究工具大部分是微积分学.力学、物理学、天文学以及技术和工业的日益增长的要求则是微分几何学发展的重要因素.尽管微分几何学主要研究三维欧几里得空间中的曲线、曲面的局部性质,但它形成了现代微分几何学的基础则是毋庸置疑的.因为依赖于图形的直观性及由它进行类推的方法,即使在今天也未失其重要性.