Question

高数中值定理？

Answer 1

首先用积分中值定理，可以得到f(1)=2∫(3/2~2)f(x)dx=2f(c)(2-3/2)=f(c).其中c是介于3/2和2之间的一个中值。然后又因为f(x)在[1,2]内可导，所以可以直接用罗尔定理，得到结果。

Answer 2

因为f(x)在[3/2,2]上连续，所以存在ξ1∈[3/2,2]使得
f(ξ1)/2=f(ξ1)(2-3/2)=∫f(x)dx (积分范围[3/2,2])
因此f(1)=2*f(ξ1)/2=f(ξ1)
因为f(x)在[1,ξ1]上连续，在(1,ξ1)上可导
所以存在ξ∈(1,ξ1)，使得f'(ξ)=0

注：积分那一步的证明
因为f(x)在[3/2,2]上连续，所以存在m,M∈[3/2,2]
使得对于任意x∈[3/2,2]， f(m)≤f(x)≤f(M)
所以f(m)/2=(2-3/2)f(m)≤∫f(x)dx (积分范围[3/2,2])≤(2-3/2)f(M)=f(M)/2
又因为f(x)在[3/2,2]上连续且f(m)≤f(x)≤f(M)
所以存在ξ1∈[3/2,2]使得f(ξ1)/2=∫f(x)dx (积分范围[3/2,2])

Answer 3

取区间[a,b]的中点(a+b)/2 根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈(a,(a+b)/2)，使得 f'(ξ)=[f((a+b)/2)-f(a)]/[(a+b)/2-a]=2[f((a+b)/2)-f(a)]/(b-a) 令g(x)=x^2，则根据柯西中值定理，存在η∈((a+b)/2,b)，使得 f'(η)/g'(η)=[f(b)-f((a+b)/2)]/[g(b)-g((a+b)/2)] f'(η)/2η=[f(b)-f((a+b)/2)]/[b^2-(a+b)^2/4]=4[f(b)-f((a+b)/2)]/(3b+a)(b-a) 所以f'(ξ)/(3b+a)+f'(η)/4η =2[f((a+b)/2)-f(a)]/(b-a)(3b+a)+2[f(b)-f((a+b)/2)]/(3b+a)(b-a) =2[f(b)-f(a)]/(b-a)(3b+a) =0