Question

秩（A+B）≤秩序（A）+秩（B）。求严格详细证明

Answer 1

证明：

设A=（a1,a2,....,an）,B=（b1,b2,....,bn）,A、B为列向量组成的矩阵；

则A+B=（a1+b1,a2+b2,....,an+bn）；

设A的列向量的极大无关组是ai1,ai2,...,aik1，秩A=k1；

设B的列向量的极大无关组是bj1,bj2,...,ajk2,秩B=k2；

可见A+B的每一个列向量都可以由a1,a2,....,an；b1,b2,....,bn来线性表示；

而a1,a2,....,an；b1,b2,....,bn中的每一个向量都可以由ai1,ai2,...,aik1；bj1,bj2,...,ajk2线性表示；

所以有秩（A+B）≤秩（a1,a2,....,an，b1,b2,....,bn）≤秩A+秩B。

扩展资料：

矩阵的秩

在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。

矩阵的秩的性质

1、设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n；

2、矩阵的行秩，列秩，秩都相等；

3、初等变换不改变矩阵的秩；

4、矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb}；

5、在m*n矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。