秩（A+B）≤秩序（A）+秩（B）。求严格详细证明
证明：
设A=（a1,a2,....,an）,B=（b1,b2,....,bn）,A、B为列向量组成的矩阵；
则A+B=（a1+b1,a2+b2,....,an+bn）；
设A的列向量的极大无关组是ai1,ai2,...,aik1，秩A=k1；
设B的列向量的极大无关组是bj1,bj2,...,ajk2,秩B=k2；
可见 A+B的每一个列向量都可以由a1,a2,....,an；b1,b2,....,bn来线性表示；
而a1,a2,....,an；b1,b2,....,bn中的每一个向量都可以由ai1,ai2,...,aik1；bj1,bj2,...,ajk2线性表示；
所以有秩（A+B）≤秩（a1,a2,....,an，b1,b2,....,bn）≤秩A+秩B。
扩展资料：
矩阵的秩
在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。
矩阵的秩的性质
1、设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n；
2、矩阵的行秩，列秩，秩都相等；
3、初等变换不改变矩阵的秩；
4、矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb}；
5、在m*n矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。
例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式 就是矩阵A的一个2阶子式。
6、A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作rA，或rankA或R(A)，特别规定零矩阵的秩为零。
7、若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。
8、n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)≠0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。
证明：
设A=（a1,a2,....,an）,B=（b1,b2,....,bn）,A、B为列向量组成的矩阵；
则A+B=（a1+b1,a2+b2,....,an+bn）；
设A的列向量的极大无关组是ai1,ai2,...,aik1，秩A=k1；
设B的列向量的极大无关组是bj1,bj2,...,ajk2,秩B=k2；
可见 A+B的每一个列向量都可以由a1,a2,....,an；b1,b2,....,bn来线性表示；
而a1,a2,....,an；b1,b2,....,bn中的每一个向量都可以由ai1,ai2,...,aik1；bj1,bj2,...,ajk2线性表示；
所以有秩（A+B）≤秩（a1,a2,....,an，b1,b2,....,bn）≤秩A+秩B。
扩展资料：
矩阵的秩
在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。
矩阵的秩的性质
1、设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n；
2、矩阵的行秩，列秩，秩都相等；
3、初等变换不改变矩阵的秩；
4、矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb}；
5、在m*n矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。
这类证明构造分块矩阵会很直观
顺带证明另外几个很常用的定理
纯手写，望采纳😃😃😃
设A的列向量的极大无关组是ai1,ai2,...,aik1,秩A=k1,
设B的列向量的极大无关组是bj1,bj2,...,ajk2,秩B=k2,
可见 A+B的每一个列向量都可以由a1,a2,....,an，b1,b2,....,bn来线性表示，而a1,a2,....,an，b1,b2,....,bn中的每一个向量都可以由ai1,ai2,...,aik1，bj1,bj2,...,ajk2线性表示，
所以有秩（A+B）≤秩（a1,a2,....,an，b1,b2,....,bn）≤秩A+秩B
（根据一组向量由另一组向量线性表示，两者的秩的关系来分析）
