Question

设三角形ABC的内角所对的边长分别为a,b,c且acosB-acosA=3/5c求：（1）tanAcotB（2）tan(A-B)的最大值

Answer 1

解：
(1)
∵acosB-bcosA=3c/5
∴2R*sinAcosB-2R*sinBcosA=2R*sinC*3/5(正弦定理)
∴sinAcosB-sinBcosA=3sinC/5
∴sinAcosB-sinBcosA=3sin[π-(A+B)]/5
∴sinAcosB-sinBcosA=3sin(A+B)/5
∴sinAcosB-sinBcosA=(3/5)*(sinAcosB+cosAsinB)
∴sinAcosB-sinBcosA=(3/5)*(sinAcosB)+ (3/5)*(cosAsinB)
∴(2/5)*(sinAcosB)=(8/5)*(sinBcosA)
∴sinAcosB=4sinBcosA
∴tanAcotB=(sinA/cosA)*(cosB/sinB)=(sinAcosB)/(sinBcosA)=(4sinBcosA)/(sinBcosA)=4
(2)
∵tanAcotB=4
∴cotB=4/tanA
∴tanB=1/cotB=tanA/4
∵tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanA*tanB)
∴tan(A-B)=(tanA-tanA/4)/(1+tanA*tanA/4)
∴tan(A-B)=(3tanA/4)/(1+tanA*tanA/4)
∴tan(A-B)=3tanA/(4+tanA*tanA)
∴tan(A-B)=3/(4/tanA+tanA)≤3/4(均值定理)
当且仅当4/tanA=tanA，即tanA=2时，等号成立，等式tan(A-B)取得最大值3/4.
怎么样，楼主，还满意吧?