Question

导数的定义域为什么是实数？

Answer 1

∂z/∂x=-y/(x²+y²)，∂z/∂y=x/(x²+y²)。

分析过程如下：

令z=arctany/x

则

∂z/∂x=1/[1+(y/x)²]*(y/x)'

=x²/(x²+y²)*(-y/x²)

=-y/(x²+y²)

∂z/∂y=1/[1+(y/x)²]*(y/x)对y求导

=x²/(x²+y²)*(1/x)

=x/(x²+y²)

扩展资料：

x方向的偏导

设有二元函数 z=f(x,y) ，点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ，相应地函数 z=f(x,y) 有增量（称为对 x 的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在，那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数，记作 f'x(x0,y0)或。函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数，实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。

y方向的偏导

同样，把 x 固定在 x0，让 y 有增量 △y ，如果极限存在那么此极限称为函数 z=(x,y) 在 (x0,y0)处对 y 的偏导数。记作f'y(x0,y0)。