Question

求微分方程y"=1/(1-x)y`+1/(1-x)的通解

Answer 1

这是一个二阶齐次线性微分方程，可以用常系数齐次线性微分方程的解法来求解。我们假设通解为 y(x) = x^a，其中 a 是待定常数。
首先，计算 y` 和 y``：

y' = ax^(a-1)
y'' = a(a-1)x^(a-2)
将 y, y' 和 y'' 代入原微分方程得到：

a(a-1)x^(a-2) = 1/(1-x) * ax^(a-1) + 1/(1-x)
整理化简得到：

a(a-1)x^(a-2) = ax^(a-1) + 1 - x
对比两边系数得到：

a(a-1) = a
1 = -2
解方程组得到两个可能的解：

a = 0 或 a = 1
因此，通解可以表示为 y(x) = C1 + C2x，其中 C1 和 C2 是任意常数。