Question

已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+4在（-∞，0）上是增函数在（0,1)上是减函数 当x

≥0时，曲线y=f(x)总在直线y=a^2x-4上方，求a的取值范围

Answer 1

f'(x)=3x^2+2ax+b
f(x)=x^3+ax^2+bx+4在（-∞，0）上是增函数在（0,1)上是减函数，可知f'(0)=0，即b=0
且-2a/3≥1，得a≤-3/2
所以f(x)=x^3+ax^2+4
令g(x)=x^3+ax^2+4-(a^2x-4)=x^3+ax^2-a^2x+8，则g(x)>0对x≥0恒成立，需要g(x)在x≥0上的最小值大于0即可.
g'(x)=3x^2+2ax-a^2=3(x-a/3)(x+a)
因为a≤-3/2，所以a/3≤-1/2，-a≥3/2，g(x)在[0,3/2]上递减，在[3/2，+∞）上递增，
所以g(3/2)=27/8+9a/4-(3a^2)/2+8为最小值，由27/8+9a/4-(3a^2)/2+8≥0可得a的取值范围

追问

为什么在3/2处取最小值，不是在x=-a为最小值吗？谢谢

追答

由g'(x)=3x^2+2ax-a^2=3(x-a/3)(x+a)
因为a≤-3/2，所以a/3≤-1/2，-a≥3/2，g(x)在[0,3/2]上递减，在[3/2，+∞）上递增，所以2/3是最低点，在2/3处取最小值。

追问

最终的答案是多少？