Question

函数f（x）=-x^3+ax^2+bx+c在（-∞，0）上是减函数，在（0,1）上是增函数，函数

函数f（x）=-x^3+ax^2+bx+c在（-∞，0）上是减函数，在（0,1）上是增函数，函数f（x）在R上有三个零点且1是其中一个零点，则f（4）的取值范围

Answer 1

（1）f（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0,1）上是增函数，
所以X=0处取得极小值，
得f’（0）=0,得b=0
(2)因为1是零点，所以f（1）=0
得c=1-a
(3)令f’（x）=0,x1=0,x2=2a/3
因f（x）有三零点，且（0,1）上是增函数
所以x2=2a/3>1,得a>3/2
(4) f（4）=15a-63>-48

Answer 2

f(x)=－x³＋ax²＋bx＋c
f'(x)=－3x²＋2ax＋b
则：
f'(0)=0，得：b=0
f'(1)≥0，得：－3＋2a≥0，即：a≥3/2
f(1)=0，得：－1＋a＋c=0，得：a=1－c≥3/2，得：c≤－1/2
则：
f(4)=－64＋16a＋c 【由c≤－1/2、a≥3/2组成可行域，在这个可行域内求出16a＋c的范围】

Answer 3

解：f（x）=-x^3+ax^2+bx+c
∴f'(x)=-3x^2+2ax+b
∵函数在（-∞，0）上是
减函数
，在（0,1）上是
增函数
∴x=0是f'(x)的零点
∴b=0
∴f'(x)=-x(3x-2a)＞0的区间要包括(0,1)
∴2a/3≥1
解得a≥3/2
又x=1是f(x)的一个零点
∴-1+a+c=0
解得c=1-a
∴f(x)=-x^3+ax^2+1-a=(x-1)(-x^2-x-1+ax+a)=-(x-1)(x^2+(1-a)x+1-a)
∵f(x)有三个零点
∴x^2+(1-a)x+1-a=0有两个根
即
△≥0
(1-a)^2-4(1-a)≥0
解得a≥1或a≤-3
又∵f（x）>g（x）的
解集
为（-∞，1），
∴-(x-1)(x^2+(1-a)x+1-a)＞x-1
→-(x-1)(x^2+(1-a)x+2-a)＞0
∴x^2+(1-a)x+2-a＞0
∴△＜0
(1-a)^2-4(2-a)＜0
解得-1-2√2＜a＜-1+2√2
综上可得
3/2≤a＜-1+2√2