Question

已知函数f（x）=-x^3+ax^2+bx+c在（-∞，0）上是减函数，在（0,1）上是增函数

已知函数f（x）=-x^3+ax^2+bx+c在（-∞，0）上是减函数，在（0,1）上是增函数，函数f（x）在R上有三个零点且1是其中一个零点。设g（x）=x-1，且f（x）>g（x）的解集为（-∞，1），求实数a的取值范围。

Answer 1

解：f（x）=-x^3+ax^2+bx+c
∴f'(x)=-3x^2+2ax+b
∵函数在（-∞，0）上是减函数，在（0,1）上是增函数
∴x=0是f'(x)的零点
∴b=0
∴f'(x)=-x(3x-2a)＞0的区间要包括(0,1)
∴2a/3≥1 解得a≥3/2
又x=1是f(x)的一个零点
∴-1+a+c=0 解得c=1-a
∴f(x)=-x^3+ax^2+1-a=(x-1)(-x^2-x-1+ax+a)=-(x-1)(x^2+(1-a)x+1-a)
∵f(x)有三个零点
∴x^2+(1-a)x+1-a=0有两个根
即 △≥0 (1-a)^2-4(1-a)≥0 解得a≥1或a≤-3
又∵f（x）>g（x）的解集为（-∞，1），
∴-(x-1)(x^2+(1-a)x+1-a)＞x-1
→-(x-1)(x^2+(1-a)x+2-a)＞0
∴x^2+(1-a)x+2-a＞0
∴△＜0 (1-a)^2-4(2-a)＜0
解得-1-2√2＜a＜-1+2√2
综上可得 3/2≤a＜-1+2√2