Question

怎么证明三角形的中位线定理

Answer 1

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。求证DE平行且等于BC/2。
法一：过C作AB的平行线交DE的延长线于F点。
∵CF∥AD
∴∠A=∠ACF
∵AE=CE、∠AED=∠CEF
∴△ADE≌△CFE
∴AD=CF
∵D为AB中点
∴AD=BD
∴BD=CF
∴BCFD是平行四边形
∴DF∥BC且DF=BC
∴DE=BC/2
∴三角形的中位线定理成立.
法二：利用相似证
∵D，E分别是AB，AC两边中点
∴AD=AB/2
AE=AC/2
∴AD/AE=AB/AC
又∵∠A=∠A
∴△ADE∽△ABC
∴DE/BC=AD/AB=1/2
∴∠ADE=∠ABC
∴DF∥BC且DE=BC/2
法三：坐标法：
设三角形三点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)
则一条边长为
:根号(x2-x1)^2+(y2-y1)^2
另两边中点为((x1+x3)/2，(y1+y3)/2)，和((x2+x3)/2，(y2+y3)/2)
这两中点距离为:根号((x2+x3)/2-(x1+x3)/2)^2+((y2+y3)/2-(y1+y3)/2)^2
最后化简时将x3，y3消掉正好中位线长为其对应边长的一半

Answer 2

已知△abc中，d，e分别是ab，ac两边中点。
　　求证de平行且等于1/2bc
　　法一：
　　过c作ab的平行线交de的延长线于f点。
　　∵cf∥ad
　　∴∠a=acf
　　∵ae=ce、∠aed=∠cef
　　∴△ade≌△cfe
　　∴de=ef=df/2、ad=cf
　　∵ad=bd
　　∴bd=cf
　　∴bcfd是平行四边形
　　∴df∥bc且df=bc
　　∴de=bc/2
　　∴三角形的中位线定理成立.
　　法二：
　　∵d，e分别是ab，ac两边中点
　　∴ad=ab/2
ae=ac/2
　　∴ad/ae=ab/ac
　　又∵∠a=∠a
　　∴△ade∽△abc
　　∴de/bc=ad/ab=1/2
　　∴∠ade=∠abc
　　∴df∥bc且de=bc/2