Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，DH⊥BC于H，AB=8，AD=DC=10，线段BC上有一动点E...

如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，DH⊥BC于H，AB=8，AD=DC=10，线段BC上有一动点E（不与点C重合），∠AEB=∠CEF，EF交射线CD于点F.
(1)若EF=FC，求BE的长.
(2)当点F在线段DC上时，若BE=x,FC=y,求y关于x的函数解析式并写出定义域.
(3)联结ED，当以A、E、D为顶点的三角形与△EFC相似时，求BE的长.

Answer 1

在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，DH⊥BC于H，
∴DH=AB=8，
AD=DC=10，
∴CH=6，BH=AD=10，
∴BC=BH+CH=16,tan∠C=DH/CH=4/3,
(1)EF=FC,
∴∠C=∠FEC=∠AEB,
∴AB/BE=tan∠C=4/3,
∴BE=7.5.
(2)作FG⊥BC于G,BE=x,FC=y,
易知FG=4y/5,CG=3y/5,EG=16-x-3y/5,
△ABE∽△FGE,
∴AB/BE=FG/GE,
∴8(16-x-3y/5)=4xy/5,
∴2(80-5x-3y)=xy,
∴160-10x=(x+6)y,
y=(160-10x)/(x+6),5<=x<=16.
(3)∠DAE=∠AEB=∠FEC,
以A、E、D为顶点的三角形与△EFC相似:
1)∠ADE=∠C=∠DEC,
∴DE=DC,EH=HC=6，BE=4;
2)∠ADE=∠CFE,
∴EA/CE=ED/CF,
∴AE*CF=CE*ED,
∴√(64+x^2)*(160-10x)/(x+6)=(16-x)√[64+(10-x)^2],
∴10√(64+x^2)=(x+6)√[64+(10-x)^2]，
平方得100(64+x^2)=(x^2+12x+36)(x^2-20x+164),繁，超出中学数学范围。