Question

19、已知：命题“若函数f（x）=ex-mx在（0，+∞）上是增函数，则m≤1，则①否命题是“若函数f（x）=ex-mx

19、已知：命题“若函数f（x）=ex-mx在（0，+∞）上是增函数，则m≤1，则①否命题是“若函数f（x）=ex-mx在（0，+∞）上是减函数，则m＞1，”，是真命题；②逆命题是“若m≤1，则函数f（x）=ex-mx在（0，+∞）上是增函数”，是假命题；③逆否命题是“若m＞1，则函数在f（x）=ex-mx（0，+∞）上是减函数”，是真命题；④逆否命题是“若m＞1，则函数f（x）=ex-mx在（0，+∞）上不是增函数”，是真命题．其中正确结论的序号是______．（填上所有正确结论的序号）

Answer 1

“若函数f（x）=e^x-mx在（0，+∞）上是增函数，则f'（x）=e^x-m≥0在（0，+∞）上恒成立，
即m≤e^x在（0，+∞）上恒成立，故m≤1．则原命题正确．
①原命题的否命题是“若函数f（x）=e^x-mx在（0，+∞）上不是减函数，则m＞1”，因为“增函数”的否定不是“减函数”，所以①错误．
②逆命题是“若m≤1，则函数f（x）=e^x-mx在（0，+∞）上是增函数”．当m≤1，则f'（x）=e^x-m＞0在（0，+∞）恒成立，故逆命题正确．所以②错误．
③逆否命题是“若m＞1，则函数在f（x）=e^x-mx（0，+∞）上不是减函数”，所以③错误．
④逆否命题是“若m＞1，则函数f（x）=e^x-mx在（0，+∞）上不是增函数”，因为原命题和逆否命题为等价命题，所以④为真命题，所以④正确．
故只有有④正确．
故答案为：④．