Question

如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点． （1）求证：EF∥平面PAD；

如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点． （1）求证：EF∥平面PAD； （2）求证：EF⊥CD；（3）若∠PDA=45°，求证：EF⊥平面PCD．

Answer 1

证明：（1）取PD中点Q，连AQ、QF，则AE∥QF
∴四边形AEFQ为平行四边形
∴EF∥AQ
又∵AQ在平面PAD内，EF不在平面PAD内
∴EF∥面PAD；
（2）∵CD⊥AD，CD⊥PA，PA∩AD=A，
PA在平面PAD内，AD在平面PAD内，
∴CD⊥面PAD，
又∵AQ在平面PAD，
∴CD⊥AQ；
∵EF∥AQ，
∴CD⊥EF；
（3）∵PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴PA⊥AD．
又∠PDA=45°，∴△PAD为等腰直角三角形．
又Q是PD中点，∴AQ⊥PD，又AQ∥EF，∴EF⊥PD．
又ABCD为矩形，∴AB⊥AD．
又AB⊥PA，AD∩PA=A，∴AB⊥平面PAD．
∵AQ?平面PAD，
∴AB⊥AQ，又AB∥CD，AE∥MN，∴EF⊥CD．
又∵PD∩CD=D，∴EF⊥平面PCD．