Question

（2012?江干区一模）如图，⊙O既是正△ABC的外接圆，又是正△DEF的内切圆，则内外两个正三角形的相似比是

（2012?江干区一模）如图，⊙O既是正△ABC的外接圆，又是正△DEF的内切圆，则内外两个正三角形的相似比是1212．

Answer 1

过O作OM⊥AC于M，ON⊥BF于N，连接OC、OF，
设OC=ON=R，
∵⊙O既是正△ABC的外接圆，又是正△DEF的内切圆，
∴∠MCO=∠OFN=30°，
∵∠CMO=∠FNO=90°，
∴OM=

1

2

R，OF=2R，
由勾股定理得：CM=

(R)2?( 1 2 R)2

=

3

2

R，
由垂径定理得：AC=2CM=

3

R，
同理EF=2NF=2

3

R，
即内外两个正三角形的相似比是AC：EF=1：2=

1

2

，
故答案为：

1

2

．