Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c， q =（2a，1）， p =（2b

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c， q =（2a，1）， p =（2b-c，cosC）且 p ∥ q ．求：（I）求sinA的值；（II）求三角函数式 -2cos2C 1+tanC +1 的取值范围．

Answer 1

（I）∵ p ∥ q ，∴2acosC=1×（2b-c）， 根据正弦定理，得2sinAcosC=2sinB-sinC， 又∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC， ∴2cosAsinC-sinC=0，即sinC（2cosA-1）=0 ∵C是三角形内角，sinC≠0 ∴2cosA-1=0，可得cosA= 1 2 ∵A是三角形内角， ∴A= π 3 ，得sinA= 3 2             …（5分） （II） -2cos2C 1+tanC +1 = 2(si n 2 C-co s 2 C) 1+ sinC cosC +1 =2cosC（sinC-cosC）+1=sin2C-cos2C， ∴ -2cos2C 1+tanC +1 = 2 sin（2C- π 4 ）， ∵A= π 3 ，得C∈（0， 2π 3 ）， ∴2C- π 4 ∈（- π 4 ， 13π 12 ），可得- 2 2 ＜sin（2C- π 4 ）≤1， ∴-1＜ 2 sin（2C- π 4 ） ≤ 2 ， 即三角函数式 -2cos2C 1+tanC +1 的取值范围是（-1， 2 ]．     …（11分）