Question

已知函数f（x）=x2+ax+1，x≥1ax2+x+1，x＜1在R上是单调递增函数，则实数a的取值范围是[-12，0][-12，0]

已知函数f（x）=x2+ax+1，x≥1ax2+x+1，x＜1在R上是单调递增函数，则实数a的取值范围是[-12，0][-12，0]．

Answer 1

∵函数f（x）是分段函数，要分x≥1，x＜1两种情况讨论，
当x≥1时，f（x）=x²+ax+1在R上是单调递增函数，
∴f^′（x）=2x+a≥0，解得x≥-

a

2

，而x≥1，∴a≥-2①，
当x＜1时，又分a=0，a≠0两种情况：
Ⅰ：a=0时，f（x）=x+1是增函数，满足题意②；
Ⅱ：a≠0时，f（x）=ax²+x+1是二次函数，根据二次函数的图象及性质，需满足对称轴x=-

1

2a

≥1且a＜0
即

? 1 2a ≥1 a＜0

，解得-

1

2

≤a＜0③
综合①②③得-

1

2

≤a≤0；
故答案为：[-

1

2

，0]．