Question

函数的题

函数f（x）=（x+1）ln（x+1），若对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围。

Answer 1

解法一：
令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，
对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a
令g′(x)＝0，解得x＝e^(a－1)－1， ……5分
(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，
又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，
即当a≤1时，对于所有x≥0，都有 f(x)≥ax． ……9分
(ii)当a＞1时，对于0＜x＜e^(a－1)－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，e^(a－1)－1)是减函数，
又g(0)＝0，所以对0＜x＜e^(a－1)－1，都有g(x)＜g(0)，
即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．
综上，a的取值范围是（－∞，1]． ……12分
解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，
于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立． ……3分
对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a
令g′(x)＝0，解得x＝e^(a－1)－1， ……6分
当x＞ e^(a－1)－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，
当－1＜x＜e^(a－1)－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数， ……9分
所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为e^(a－1)－1≤0．
由此得a≤1，即a的取值范围是（－∞，1]． ……12分