Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面为菱形且∠ABC=120°，PA⊥底面ABCD，AB=1，PA=3，E为PC的中点．（1）求直线DE

如图，四棱锥P-ABCD的底面为菱形且∠ABC=120°，PA⊥底面ABCD，AB=1，PA=3，E为PC的中点．（1）求直线DE与平面PAC所成角的大小；（2）在线段PC上是否存在一点M，使PC⊥平面MBD成立．如果存在，求出MC的长；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）如图，连AC、BD，则由PA⊥底面ABCD，得平面PAC⊥底面ABCD于AC，
又由底面ABCD为菱形可得BD⊥AC于O，∴DO⊥平面PAC．
连OE，则OE为DE在平面PAC上的射影，∴∠DEO即为DE与平面PAC所成的角．
由E为PC的中点可得EO＝

1

2

PA=

3

2

．
又由菱形的性质可得，在Rt△AOD中，
∠ADO=60°，AD=1，∴DO＝

1

2

．
∴在Rt△DEO中，tan∠DEO＝

DO

EO

＝

3

3

，
∴∠DEO=30°．
（2）设AC∩BD=O，过O作OM⊥PC于M，
则由PA⊥底面ABCD可得
平面PAC⊥底面ABCD于AC．
又BD⊥AC，BD?底面ABCD，
∴BD⊥平面PAC，
∴BD⊥PC，
而由OM?平面PAC且OM⊥PC
可得PC⊥平面MBD．
故在线段PC上是存在一点M，使PC⊥平面MBD成立．
此时OM∥AE，且OM=

1

2

AE=

1

4

PC=

6

4