Question

（2014?广州二模）如图，空间区域Ⅰ、Ⅱ有匀强电场和匀强磁场，MN、PQ为理想边界，Ⅰ区域高度为d，Ⅱ区域

（2014?广州二模）如图，空间区域Ⅰ、Ⅱ有匀强电场和匀强磁场，MN、PQ为理想边界，Ⅰ区域高度为d，Ⅱ区域的高度足够大．匀强电场方向竖直向上；Ⅰ、Ⅱ区域的磁感应强度均为B，方向分别垂直纸面向里和向外．一个质量为m，电量为q的带电小球从磁场上方的O点由静止开始下落，进入场区后，恰能做匀速圆周运动．已知重力加速度为g．（1）试判断小球的电性并求出电场强度E的大小；（2）若带电小球运动一定时间后恰能回到O点，求它释放时距MN的高度h；（3）试讨论在h取不同值时，带电小球第一次穿出Ⅰ区域的过程中，电场力所做的功．

Answer 1

小球运动轨迹如图所示：

（1）小球进入电磁场后恰好能做匀速圆周运动，则重力与电场力合力为零，洛伦兹力提供向心力，
重力竖直向下，则电场力竖直向上，电场强度向上，电场力方向与场强方向相同，则小球带正电；
电场力与重力相等，则qE=mg…①，
则电场强度：E=

mg

q

…②
（2）带电小球进入磁场前做自由落体运动，机械能守恒，
由机械能守恒定律得：mgh=

1

2

mv² …③，
小球在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：qvB=m

v2

R

… ④
由于小球在Ⅰ、Ⅱ两个区域运动过程中q、v、B、m的大小不变，则三段圆弧的半径相等，
以三个圆心为顶点的三角形为等边三角形，边长为2R，内角为60度，如图（a）所示，
由几何知识可得：R=

d

sin60°

… ⑤，
解得：h=

2q2B2d2

3m2g

…⑥；
（3）带电小球在Ⅰ区域做圆周运动的圆弧与PQ相切时，运动轨迹如图（b）所示，
由几何知识可得：R=d… ⑦，
由③④⑦解得：h₀=

q2B2d2

2m2g

… ⑧，
i、当h＜h₀时，带电小球进入Ⅰ区域的速度较小，轨道半径较小，不能进入Ⅱ区域，由磁场上边界MN第一次穿出Ⅰ区域，
在此过程中，电场力做功：W=qEs=0…⑨；
ii、当h＞h₀时，带电小球进入磁场Ⅰ区域后由下边界PQ第一次磁场Ⅰ区域进入Ⅱ区域，在此过程电场力做功W=-qEd，
把②代入解得：W=-mgd；
答：（1）小球带正电，电场强度：E=

mg

q

；
（2）小球放时距MN的高度h=

2q2B2d2

3m2g

；
（3）带电小球第一次穿出Ⅰ区域的过程中，当h＜h₀时，电场力做功为零；当h＞h₀时，电场力做功为：-mgd．