Question

如图所示，空间区域Ⅰ、Ⅱ存在匀强电场和匀强磁场，MN、PQ为磁场区域的理想边界，Ⅰ区域高度为d，Ⅱ区域

如图所示，空间区域Ⅰ、Ⅱ存在匀强电场和匀强磁场，MN、PQ为磁场区域的理想边界，Ⅰ区域高度为d，Ⅱ区域的高度足够大．匀强电场方向竖直向上；Ⅰ、Ⅱ区域磁场的磁感应强度均为B，方向分别垂直纸面向里和向外．一个质量为m，电荷量为q的带电小球从磁场上方的O点由静止开始下落，进入电磁场区域后，恰能做匀速圆周运动．已知重力加速度为g．（1）试判断小球的电性并求出电场强度E的大小；（2）若带电小球运动一定时间后恰能回到O点，在图中作出小球的运动轨迹；求出释放时距MN的高度h；并求出小球从开始释放到第一次回到O点所经历的时间t；（3）试讨论h取不同值时，小球第一次穿出磁场Ⅰ区域的过程中电场力所做的功W．

Answer 1

（1）带电小球进入复合场后，恰能做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，重力与电场力平衡，重力竖直向下，电场力竖直向上，即小球带正电．
由：qE=mg
解得：E＝

mg

q

；
（2）带电小球在进入磁场区域前做自由落体运动，由机械能守恒有：mgh=

1

2

mv²
带电小球在磁场中作匀速圆周运动，设半径为R，依牛顿第二定律有：qvB=m

v2

R

由于带电小球在Ⅰ、Ⅱ两个区域运动过程中q、v、B、m的大小不变，故三段圆周运动的半径相同，以三个圆心为顶点的三角形为等边三角形，边长为2R，内角为60°，轨迹如答图（a）所示．由几何关系知R=

d

sin60°

解得h=

2q2B2d2

3m2g

；
作出小球运动大致轨迹图（a）所示．
小球从开始释放到回到O点所经历的时间由两部分组成，一部分为无场区的运动，时间t1＝2

2h g

；
一部分为电磁场区域的运动，时间t2＝

7

6

×

2πm

qB

＝

7πm

3qB

；
总时间：t＝t1+t2＝2

2h g

+

7πm

3qB

=

4 3 qBd

3mg

+

7πm

3qB

（3）当带电小球在Ⅰ区域作圆周运动的圆弧与PQ相切时，运动轨迹如答图（b）所示，有：半径R=d 
解得对应高度：h₀=

q2B2d2

2m2g

讨论：i．当h＜h₀时，小球进入磁场Ⅰ区域的速度较小，半径较小，不能进入Ⅱ区域，由磁场上边界MN第一次穿出磁场Ⅰ区域，此过程电场力做功W=0
ⅱ．当h＞h₀时，小球进入磁场Ⅰ区域后由下边界PQ第一次穿出磁场Ⅰ区域进入Ⅱ区域，此过程电场力做功 W=-qEd 
即W=-mgd
答：（1）小球的带正电，电场强度E的大小

mg

q

；
（2）若带电小球运动一定时间后恰能回到O点，在图中作出小球的运动轨迹如图；释放时距MN的高度是

2q2B2d2

3m2g

；并求出小球从开始释放到第一次回到O点所经历的时间是

4 3 qBd

3mg

+

7πm

3qB

；
（3）讨论：i．当h＜h₀时，小球进入磁场Ⅰ区域的速度较小，半径较小，不能进入Ⅱ区域，由磁场上边界MN第一次穿出磁场Ⅰ区域，此过程电场力做功W=0
ⅱ．当h＞h₀时，小球进入磁场Ⅰ区域后由下边界PQ第一次穿出磁场Ⅰ区域进入Ⅱ区域，此过程电场力做功 W=-qEd 
即W=-mgd