Question

已知函数f（x）=x 2 +2x+alnx．（1）若函数f（x）在区间（0，1）上是单调函数，求实数a的取值范围；（2）

已知函数f（x）=x 2 +2x+alnx．（1）若函数f（x）在区间（0，1）上是单调函数，求实数a的取值范围；（2）当t≥1时，不等式f（2t﹣1）≥2f（t）﹣3恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞） ∵f（x）=x 2 +2x+alnx ∴ （x＞0）， 设g（x）=2x 2 +2x+a，则g（x）= ，∵函数f（x）在区间（0，1）上为单调增函数， ∴g（0）≥0，或g（1）≤0， ∴a≥0，或2+2+a≤0， ∴实数a的取值范围是{a|a≥0，或a≤﹣4}． （2）不等式f（2t﹣1）≥2f（t）﹣3可化为 2t 2 ﹣4t+2≥alnt 2 ﹣aln（2t﹣1） ∴2t 2 ﹣alnt 2 ≥2（2t﹣1）﹣aln（2t﹣1） 令h（x）=2x﹣alnx（x≥1），则问题可化为h（t 2 ）≥h（2t﹣1） ∵t≥1， ∴t 2 ≥2t﹣1 要使上式成立，只需要h（x）=2x﹣alnx（x≥1）是增函数即可 即 在[1，+∞）上恒成立， 即a≤2x在[1，+∞）上恒成立， 故a≤2 ∴实数a的取值范围是（﹣∞，2]．