求二重积分∫∫D(x-y)dxdy,其中D={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤2,y≥x}

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茹翊神谕者

2023-09-10 · TA获得超过2.5万个赞
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简单分析一下,答案如图所示

旷昊英单菱
2019-01-04 · TA获得超过3万个赞
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1.
此题利用对称法进行求解,结果是4/3
2.
分析:由于本题积分区域关于x轴和y轴均对称,所以原积分可以写成在第一象限内4倍的形式,记∫∫[d]f(x,y)dxdy=4∫∫[d1]f(x,y)dxdy
其中d1={(x,y)|x+y≦1,x≥0,y≥0},然后在第一象限内利用累次积分对原函数积分即可。
3.
具体计算过程如下:
∫∫[d]f(x,y)dxdy
=4∫∫[d1]f(x,y)dxdy
=4∫∫[d1](x+y)
dxdy
=4∫[0→1]dx∫[0→1-x](x+y)dy
=4∫[0→1][x(1-x)+1/2(1-x)²]dx
=4∫[0→1](-1/2x²+1/2)dx
=4*(-1/6x³+1/2x)|[0→1]
=4/3
4.
说明:当出现绝对值时,应首先考虑去掉绝对值;积分区域对称时,应将原积分转化成易于计算的区间内的倍数关系。
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