Question

【高中数学】已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，a=10，b-c=6

已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，a=10，b-c=6
求证：4tan（C/2）=tan（B/2）

Answer 1

证明：

过顶点A作AD垂直于BC边，垂足为D（D在BC边上），设CD长为x，则BD长为（10-x），AD长为h
根据半角公式：
tan(C/2)=(1-cosC)/sinC
tan(B/2)=(1-cosB)/sinB
在直角三角形ADC中，cosC=x/b，sinC=h/b
在直角三角形ADB中，cosB=(10-x)/c, sinB=h/c
故，有：
tan(C/2)=(b-x)/h，tan(B/2)=(c-(10-x))/h
则，(tan(C/2))/(tan(B/2))=(b-x)/((c-(10-x)) （式1）
又，因为
在直角三角形ADC中，h^2+x^2=b^2
在直角三角形ADB中，h^2+(10-x)^2=c^2
上两式相减，得 10*(2x-10)=(b-c)*(b+c)，联合条件b-c=6，解得x=(3/5)*b+(16/5)
将上式代入式1，并联合条件b-c=6，得
(tan(C/2))/(tan(B/2))=(2b-16)/(8b-64)（式2）
又，因为a=10, b-c=6,若b-8=0，则c=2，b+c=a，无法构成三角形，故b-8不为零，
因此，式2化简为(tan(C/2))/(tan(B/2))=1/4
即：4tan(C/2)=tan(B/2)，证毕