Question

关于数学导数曲线方程的问题（悬赏20分）

一 、已知曲线y=2x²+3上一点P（2，11）
求（1）过点P的切线的斜率 （2）过点P的切线方程
二 、去曲线y=Sinx在x=π／3处的切线方程
三 、若直线y=1/2x+b是y=Γχ的图像的切线，求切点坐标及b的值
解答完加20分
“y=Γχ”的意思就是y等于根号χ

Answer 1

一、
对y=2x²+3求导，可得y'=4x;因为P在抛物线上，要求此点的斜率，即求x=2时的导数值，此时导数值为4*2=8，所以过P点的切线的斜率为8

利用点斜式可以直接写出切线方程为:y-11=8(x-2),整理得：y=8x-5

二、
同理，y'=cosx，在x=π／3处导数值为1/2.即切线的斜率为1/2。
x=π／3时函数值为√3/2，利用点斜式写方程：y-√3/2=1/2(x-π／3),整理得：y=0.5x-π/6+√3/2.

三、
先对y=√x求导，得：y'=0.5x^(-1/2).令y'=1/2，解得x=1;
将x=1带入y=√x求得y=1,所以该切线的切点是（1,1）
切线必经过该切点，将切点坐标带入切线方程求得b=1/2

Answer 2

一、（1）曲线的斜率方程为y=4x,所以过P点的切线的斜率为K=4*2=8
（2）切线方程设为y=8x+t,带入（2.，11），得t=-5,所以切线方程为y=8x-5

二、做法同上，在x=π／3处的斜率方程为y=cosX,所以该点K=cosπ／3=0.5
该店的纵坐标为y=sinπ／3=Γ3/2，切线方程设为y=0.5x+t,带入（π／3，Γ3/2），得到t=（3Γ3-π）/6，所以切线方程为y=0.5x+（3Γ3-π）/6

三、方程的斜率方程为y=1/2Γχ,有直线方程可知，该直线的斜率为1/2，带入斜率方程，得到该店的横坐标为1，带入曲线，得纵坐标也为1，所以，切点坐标为（1,1），将该坐标带入直线方程y=1/2x+b，得b=1/2

Answer 3

一、（1）导数为dy=4x
斜率=4×2=8
（2）方程为y=8x-5
二、导数为dy=cosx
斜率为cos（π／3）=1/2
x=π／3时y=（根号3）/2
切线方程为y=(1/2)x+[(根号3)/2]-π／6
三