Question

已知函数f（x）=lnx+1/x+ax，x∈（0，+∞）（a为实常数）。

（1） 当a=0时，求f（x）的最小值；

（2） 若f（x）在[2，+∞）上是单调函数，求a的取值范围；

Answer 1

（1）当a=0时，f(x)=lnx+1/x。求导得：f'(x)=1/x-1/x^2=(1-1/x)/x
因为x∈(0,+∞)，当f'(x)=0时取得极值，所以取得极值点x=1
当x＜1时，f'(x)＜0，f(x)随着x的增大而减小；当x＞1时，f'(x)＞0，f(x)随着x的增大而增大。
所以，f(x)在x=1时的极值是极小值，也是最小值，等于1

（2）f'(x)=1/x-1/x^2+a=a+1/4-(1/x-1/2)^2
当x∈[2,+∞)时，f'(x)∈(a,a+1/4]。由于f(x)在此区段是单调函数，所以，有
a≥0或a+1/4≤0 得：a的取值范围是(-∞,-1/4]∪[0,+∞)