Question

高一数学题，急~

设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、 ∈P（除数b≠0）则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，有下列命题，其中正确是：
①数域必含有0，1两个数；
②整数集是数域；
③若有理数集Q M,则数集M必为数域;
④数域必为无限集.

答案为 ①④

为什么4是对的
答案上的解释：
设数域 P，a∈P，b∈P，（假设 a≠0）
则 a+b∈P、 则 a+（a+b）=2a+b∈P
同理 na+b∈P，n∈Z
故数域必为无限集。
为什么a一定不等于0？我觉得如果a等于零，b不等于零的话，此数域就是有限集。。求高手回答~谢谢
注：那个a-b打错了，是a/b
我的意思是，设a=0,b=1那么 a+b=1、a/b=0、ab=0、那么此数域就在0和1两个数间不断地循环。。那么它就是有限集，请问我错在哪里？

Answer 1

因为a,b具有对称性，按你的意思如果a等于零，b不等于零的话，那么就可以得到nb+a∈P，也是无限集，题目的答案只不过是不妨设 a≠0，因为集合中肯定有不等于0的数。
题目里没说a,b一定不相等啊，如果a,b相等的话，答案就是对的了。

Answer 2

若对任意a、b∈P，都有a+b、a/b、ab、 ∈P
正如你说 P中只有0，1时
a=b=1时 a+b=2、a/b=1、a*b=1∈P
所以 2∈P
。。。

你把问题特殊化了
人家的意思是a，b是属于P的任意 元素

Answer 3

且至少含有两个数
如果都是0 就只有一个数了
所以至少有个不为0 的 假设这个数是a