Question

设秩(α1,α2,...,αs)=r,β不能由向量组α1,α2,...,αs线性表示,求秩(α1,α2,...,αs,β)

Answer 1

由向量组α1，α2，…，αs，可由向量组β1，β2，…，βs线性表示，得存在kij（i=1，2，…，s；j=1，2，…，s），使得（α1，α2，…，αs）=（β1，β2，…，βs）（kij）s×s由矩阵乘法的秩的性质，知r（AB）≤min{r（A），r（B）}∴r（α1，α2，…，αs）≤r（β1，β2，…，βs）而向量组α1，α2，…，αs（s≥2）线性无关，即r（α1，α2，…，αs）=s∴r（β1，β2，…，βs）=s∴向量组β1，β2，…，βs线性无关，故A成立；∴（kij）s×s是可逆的∴(β1，β2，…，βs)＝(α1，α2，…，αs)(kij)s×s−1即向量组β1，β2，…，βs也可以由向量组α1，α2，…，αs线性表示∴向量组α1，α2，…，αs与向量组β1，β2，…，βs等价故C成立；而选项B．假设αi=βi（i=1，2，…，s），显然满足题目条件，但向量组α1，β2，…，βs线性无关故B不成立故选：B．