Question

几何难题，急！

四边形ABCD,PQMN为正方形，EHGF为AP,CQ,DM,BN,中点，证：四边形EHGF是正方形

Answer 1

解：辅助线：连接AN,DN,AQ,DQ 并取其各自中点J、K、I、L.并连接EJ、JF,FK、KG,HL、LG,HI、IE.（图已经被我糟蹋了，谅解）

∵E,F,G,H为中点，I,J,K,L为中点，所以JE,EJ,EI,IH,HL,LG,GK,KF八条线为各自所在三角形的中位线

∴AB=BD=CD=CA=2JF=2FK=2HL=2HI.PN=NM=MQ=QP=2EJ=2GK=2LG=2EI

同时也是平行的

又∵凸四边形ABDN.

∴∠3+∠4+∠ABD=∠AND=∠1+∠2+∠PNM.

∴∠3+∠4=∠1+∠2.

∵180°-∠AJF=∠3,180°-∠GKN=∠2.

∴180°-∠AJF+∠4=180°-∠GKN+∠1.

整理得∠4+∠GKN=∠1+∠AJF

即∠EJF=∠GKF.

∴△EJF≌△GKF（SAS）.

∴EF=FG.

又∵∠JFN=∠ABN，∠NFK=∠NBD,且∠ABN+∠NBD=90°

∴JE⊥FK.

∴EF⊥FG.

∴同理，EH=HG,EH⊥HG.

∴正方形EFGH.