Question

求函数的值域

求函数的值域求函数值域，要过程

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如图

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求下列函数的值域：

(4).y=3x+2-√(8-3x)

解：定义域：有8-3x≧0，得x≦8/3，即x∈(-∞，8/3];

由于y'=3+3/[2√(8-3x)]>0 在定义域能恒成立，故该函数在定义域内单调增。

x→-∞时y→-∞；y(8/3)=8+2=10，∴ -∞<y≦10，这就是值域。

(5).y=(x²-x+3)/x; x∈(0，+∞)

解：y'=[x(2x-1)-(x²-x+3)]/x²=(x²-3)/x²=(x-√3)(x+√3)/x²

当0<x≦√3时y'≦0，因此y在区间(0，√3]单调减；当x≧√3时y'≧0，即在区间[√3，+∞)内y单调

增；故x=√3时极小点，极小值y=y(√3)=[3-(√3)+3]/√3=(6-√3)/√3=2(√3)-1.

事实上，y=x-1+(3/x)≧2(√3)-1; x→0时y→+∞；故值域y∈[2(√3)-1，+∞);

(6).y=(3-x)/(1+2x)；(x<0)

解：x=-1/2时其无穷型间断点。定义域(-∞，-1/2)∪(-1/2，0);

y'=[-(1+2x)-2(3-x)]/(1+2x)²=-7/(1+2x)²<0在区间(-∞，-1/2)∪(-1/2，0)内恒成立；故y在

其定义域内单调减；y=(3-x)/(1+2x)=-(1/2)+7/[2(1+2x)]

x→-1/2-时y→-∞；x→-1/2+时y→+∞；  x→-∞时y→-1/2；y(0)=3；

∴y∈(-∞，-1/2）∪[3，,+∞)；其图像如下：