Question

tanx在（0，π/2）上的定积分是多少

Answer 1

这个是不可积的，tanx的原函数是-lncosx +C，而该函数在x趋于无穷大时不收敛。

令sint=2^(1/2)*sinx则t∈[0,π/2] costdt=2^(1/2)cosxdx

dx=2^(1/2)*1/2*costdt/[1-1/2*(sint)^2]^(1/2)

原积分=2^(1/2)*∫(cost)^2/dt/[1-1/2*(sint)^2]^(1/2) 有积分区间[0,π/2]

=2*2^(1/2)*∫[1-1/2*(sint)^2]^(1/2)dt - 2^(1/2)*∫dt/[1-1/2*(sint)^2]^(1/2)

=-2^(1/2)*K(1/2*2^(1/2))+2*2^(1/2)*E(1/2*2^(1/2))

注:K(k),E(k)为第一,二类完全椭圆积分,为未定无理数。

含义

这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

希望有所帮助

Answer 3

这个是不可积的，tanx的原函数是-lncosx +C，而该函数在x趋于无穷大时不收敛