Question

利用格林公式计算曲线积分∮L(y2+eX)dx+(2xy+5x+sin2y)dy,其中L为圆域D:x2+y2>=4的边界曲线，取逆时针方

Answer 1

解答：

格林公式：∮L P(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫∫D (dQ/dx-dP/dy)dxdy

本题中D区域为：0≤x≤1，0≤y≤x

∴∮L {x2+y2}dx+{y2-x2}dy

=∫∫D [d(y^2-x^2)/dx-d(x^2+y^2)/dy]dxdy

=∫∫D (-2x-2y) dxdy

=∫<0,1>[∫<0,x>(-2x-2y)dy]dx

=∫<0,1>[<0,x>(-2xy-y^2)]dx

=∫<0,1>(-3x^2)dx

=<0,1>[-x^3]

=-1

引例

先看一个例子：设有一曲线形构件占xOy面上的一段曲线 ，设构件的密度分布函数为ρ(x,y)，设ρ(x,y)定义在L上且在L上连续，求构件的质量。对于密度均匀的物件可以直接用ρV求得质量；对于密度不均匀的物件，就需要用到曲线积分,dm=ρ(x,y)ds;所以m=∫ρ(x,y)ds；L是积分路径，∫ρ(x,y)ds就叫做对弧长的曲线积分。

Answer 2

如图所示：