Question

已知函数f(x)=2的x次方加2的负x次方。证明在零到正无穷区间内是增函数

Answer 1

证明;：设x2>x1>0，那么2^x2>2^x1>1,
∴
2^x2-2^x1>0
2^x1*2^x2-1>0,
2^x1*2^x2>0
∴f(x2)-f(x1)=2^x2+2^(-x2)-2^x1-2^(-x1)=(2^x2-2^x1)+[2^x1-2^x2]/(2^x1*2^x2)=(2^x2-2^x1)*[2^x1*2^x2-1]/(2^x1*2^x2)>0
∴f(x2)>f(x1)
故在零到正无穷区间内是增函数

Answer 2

f(x)=2的x次方-1/2的x次方+1
f'(x)=ln2*
2的x次方+1/2的x次方*ln2
=ln2*(2的x次方+1/2的x次方)>0
所以
f(x)在区间(负无穷,正无穷)上是增函数。