Question

已知函数f(x)=2的x次方加2的负x次方。证明在零到正无穷区间内是增函数

Answer 1

f'(x)=(2^x)*ln2-(2^(-x))*ln2
=(2^x)(1-2^(-2x))*ln2
=(2^x)(1-1/4^(x))*ln2
在[0,+00)上
1-1/(4^x)>0
所以f‘（x)>0
所以增函数

Answer 2

y=f(x)=2^x+2^(-x)
y`=2^xln2-2^(-x)ln2=(2^x+1)(2^x-1)/(2^xln2)
因为x>0 所以2^x>1
所以y`>0
所以f(x)在(0,正无穷)内是增函数

追问

要取0<x1<x2的方法呢?

Answer 3

证明;：设x2>x1>0，那么2^x2>2^x1>1, ∴ 2^x2-2^x1>0 2^x1*2^x2-1>0, 2^x1*2^x2>0
∴f(x2)-f(x1)=2^x2+2^(-x2)-2^x1-2^(-x1)=(2^x2-2^x1)+[2^x1-2^x2]/(2^x1*2^x2)=(2^x2-2^x1)*[2^x1*2^x2-1]/(2^x1*2^x2)>0
∴f(x2)>f(x1)
故在零到正无穷区间内是增函数

追问

若f(x)=5*2的负x方加3。求x的值怎么算?刚才问的第二小问